基本的にWebプログラマーになるために、絶対的に必要な資格はありません。プログラミング言語などの知識や技術は独学で学ぶことができ、システム開発に関しても必要な資格はないのです。
しかし、取得しておくことでキャリアアップや収入アップに繋がるものや、転職、就職の際に役立つ資格は数多くあります。

たとえば情報処理技術者試験がその1つです。この試験は、独立行政法人情報処理推進機構の国家試験になります。言語やスキルなどではなく情報処理の基礎を理解し、一定以上の水準であるのかを総合的に評価するための試験です。
またPHP技術者認定試験もあります。これはPHP技術者認定機構が認定する試験で、初級、上級、ウィザードの3種類に分かれています。
このほかにも、Ruby技術者認定試験など様々な資格があります。

また、Webプログラマーの主な仕事内容はWebページにCSSなどを使用してサイトを見やすくすることなので、Webクリエイター能力認定試験なども役立つ資格です。コーディング能力など、Webサイトを作成していく上で必要な能力を認定する試験です。試験の内容は2つあり、主にWeb制作未経験者が受けるスタンダードやエキスパートの2つです。

このように、Webプログラマーとして働く際に必ず必要な資格はないですが、Webに関する資格や言語プログラミングやデータベースの基礎を作り上げる知識など、Webサイト全般に使用できる資格を取得することで、仕事の幅を増やす際や収入アップの際などに役立ちます。
また、これらの資格を取得しておけば、就職や転職の際にも非常に有利になるでしょう。